荒原之梦 - 第107页共241页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

调换定积分的上下限对定积分的影响（B007）

问题

根据定积分的基本性质，若调换定积分 $\textcolor{Orange}{\int}_{\textcolor{White}{a}}^{\textcolor{White}{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的下限 $\textcolor{White}{a}$ 和上限 $\textcolor{White}{b}$, 则以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(-x)$ $\mathrm{d} (-x)$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int_{\textcolor{Red}{b}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$

定积分与积分变量无关的原则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，下列选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{x} =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{t}$$由于定积分本质上是一个值，因此，定积分与积分变量的选取无关.

函数可积与有界之间的关系（B007）

问题

下面关于函数[可积]与[有界]之间关系的描述，正确的是哪个？

选项

[A]. 函数若可积则可能有界

[B]. 函数若可积则必有界

[C]. 函数若可积则一定无界

[D]. 函数可积与有界之间没有关系

答案

函数可积与有界之间的关系

简洁版：
如果一个函数在某区间上可积，则该函数在该区间上必有界.
（是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.）

标准版：
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Red}{I}$ 上[可积]，则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Red}{I}$ 上必[有界].

函数可积是有界的必要条件.

函数有界、有间断点与可积之间的关系（B007）

问题

下面关于函数[有界]、[有间断点]与[可积]之间关系的描述，正确的是哪个？

选项

[A]. 在有界区间上有无数个间断点的函数必可积

[B]. 在有界区间上有间断点的函数必可积

[C]. 在有界区间上只有有限个间断点的函数必可积

[D]. 只要有间断点一定不可积

答案

函数有界、有间断点与可积之间的关系

简洁版：
在有界区间上只有有限个间断点的函数必可积.
（是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.）

标准版：
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[有界]，且只有有限个[间断点]，则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[可积].

函数连续与可积之间的关系（B007）

问题

下面关于函数的[连续]与[可积]之间关系的描述，正确的是哪个？

选项

[A]. 闭区间上连续一定不可积

[B]. 闭区间上连续不一定可积

[C]. 闭区间上连续必可积

[D]. 开区间上连续必可积

答案

函数连续与可积之间的关系

简洁版：
闭区间上连续必可积.
(是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.)

标准版：
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[连续]，则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[可积].

被积函数 $\sqrt{x^{2} – a^{2}}$ 的三角代换方法（B006）

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{x^{2} – a^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $x$ $=$ $a \csc t$

[B]. $x$ $=$ $- a \sec t$

[C]. $x$ $=$ $\sec t$

[D]. $x$ $=$ $a \sec t$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{x^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \sec t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{(a \sec t)^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \sec t)} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{(a^{2} \sec ^{2} t – a^{2})} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} (\sec ^{2} t – 1)} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\sec ^{2} t – 1} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\tan ^{2} t} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \tan t \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a ^{2} \tan ^{2} t \cdot \sec t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\textcolor{Orange}{a ^{2}} \int \textcolor{Red}{\tan ^{2} t \cdot \sec t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$

被积函数 $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ 的三角代换方法（B006）

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $x$ $=$ $- a \tan t$

[B]. $x$ $=$ $\tan t$

[C]. $x$ $=$ $a \tan t$

[D]. $x$ $=$ $- \tan t$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \tan t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} + (a \tan t)^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \tan t)}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2}(1 + \tan ^{2} t)}} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{(1 + \tan ^{2} t)}} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\sec ^{2} t}} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sec t} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a^{2} \sec ^{3} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\textcolor{Orange}{a^{2}} \int \textcolor{Red}{\sec ^{3} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$

被积函数 $\sqrt{a^{2} – x^{2}}$ 的三角代换方法（B006）

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{a^{2} – x^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $x$ $=$ $\cos t$

[B]. $x$ $=$ $a \cos t$

[C]. $x$ $=$ $\sin t$

[D]. $x$ $=$ $a \sin t$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \sin t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} – (a \sin t)^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \sin t)} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2}(1 – \sin ^{2} t)} \cdot a \cos t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\cos ^{2} t} \cdot a \cos t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a^{2} \cdot \cos ^{2} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\textcolor{Orange}{a^{2}} \int \textcolor{Red}{\cos ^{2} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$其中，$a$ 为常数，且 $a^{2}$ $-$ $x^{2}$ $\neq$ $0$.

换元积分法（B006）

问题

设 $\int$ $f(u)$ $\mathrm{d}$ $u$ $=$ $F(u)$ $+$ $C$, 则：
$\textcolor{Orange}{\int}$ $\textcolor{Orange}{f[\phi (x)] \phi ^{\prime} (x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{White}{=}$ $?$

选项

[A]. $\int$ $f[\phi (x)] \phi ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $f[\phi (x)] \phi ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $f[\phi(x)]$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $f[\phi (x)] \phi ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F[\phi(x)]$

[D]. $\int$ $f[\phi (x)] \phi ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F[\phi(x)]$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f[\phi (x)] \phi ^{\prime} (x)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int f[\phi(x)] \mathrm{d} [\phi(x)]$$ $$\textcolor{Orange}{\xrightarrow[]{u = \phi(x)}}$$ $$\int \textcolor{Red}{f(u)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{u} =$$ $$\textcolor{Red}{F(u)} + \textcolor{Green}{C} =$$ $$\textcolor{Red}{F[\phi(x)]} + \textcolor{Green}{C}.$$

$\int$ $u v^{\prime}$ $\mathrm{d}$ $x$ 的分部积分公式（02-B006）

问题

如何使用分部积分法计算 [$\textcolor{Orange}{\int u v^{\prime} \mathrm{d} x}$] ?

其中，$u$ 和 $v$ 分别表示函数 $u(x)$ 和 $v(x)$.

选项

[A]. $\int$ $u v^{\prime}$ $\mathrm{d}$ $x$ $=$ $uv$ $+$ $\int$ $u^{\prime} v$ $\mathrm{d}$ $x$

[B]. $\int$ $u v^{\prime}$ $\mathrm{d}$ $x$ $=$ $uv^{\prime}$ $-$ $\int$ $u^{\prime} v$ $\mathrm{d}$ $x$

[C]. $\int$ $u v^{\prime}$ $\mathrm{d}$ $x$ $=$ $uv$ $-$ $\int$ $v^{\prime} u$ $\mathrm{d}$ $x$

[D]. $\int$ $u v^{\prime}$ $\mathrm{d}$ $x$ $=$ $uv$ $-$ $\int$ $u^{\prime} v$ $\mathrm{d}$ $x$

答案

$$\int \textcolor{Red}{u v^{\prime}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Red}{uv} \textcolor{Green}{-} \int \textcolor{Red}{u^{\prime} v} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}.$$

$\int$ $u$ $\mathrm{d}$ $v$ 的分部积分公式（01-B006）

问题

如何使用分部积分法计算 [$\textcolor{Orange}{\int u \mathrm{d} v}$] ?

选项

[A]. $\int$ $u$ $\mathrm{d}$ $v$ $=$ $uv$ $+$ $\int$ $v$ $\mathrm{d}$ $u$

[B]. $\int$ $u$ $\mathrm{d}$ $v$ $=$ $uv$ $-$ $\int$ $u$ $\mathrm{d}$ $v$

[C]. $\int$ $u$ $\mathrm{d}$ $v$ $=$ $uv$ $-$ $\int$ $v$ $\mathrm{d}$ $v$

[D]. $\int$ $u$ $\mathrm{d}$ $v$ $=$ $uv$ $-$ $\int$ $v$ $\mathrm{d}$ $u$

答案

$$\int \textcolor{Red}{u} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{v} =$$ $$\textcolor{Red}{uv} \textcolor{Green}{-} \int \textcolor{Red}{v} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{u}.$$

对 $\int$ $\frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int \frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $\frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\arctan x)$ $\mathrm{d}$ $(\arctan x)$

[B]. $\int$ $\frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\arctan x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int$ $\frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\arctan x)$ $\mathrm{d}$ $(\arctan x)$

[D]. $\int$ $\frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\arctan x)$ $\mathrm{d}$ $(\arcsin x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{f(\arctan x)}{1+x^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(\arctan x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\arctan x})$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int \frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\arcsin x)$ $\mathrm{d}$ $(\arctan x)$

[B]. $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\arcsin x)$ $\mathrm{d}$ $(\arcsin x)$

[C]. $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\arcsin x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\arcsin x)$ $\mathrm{d}$ $(\arcsin x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(\arcsin x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\arcsin x})$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\cot x) \csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\cot x) \csc ^{2} x \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\cot x) \csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\cot x)$ $\mathrm{d}$ $(\cot x)$

[B]. $\int$ $f(\cot x) \csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\cot x)$ $\mathrm{d}$ $(\cot x)$

[C]. $\int$ $f(\cot x) \csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\cot x)$ $\mathrm{d}$ $(\cos x)$

[D]. $\int$ $f(\cot x) \csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\cot x)$ $\mathrm{d}$ $(\sin x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\cot x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\csc ^{2} x} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}=$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int \textcolor{Red}{f(\cot x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\cot x}).$$

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(\tan x) \sec ^{2} x \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d}$ $(\tan x)$

[B]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d}$ $(\cot x)$

[C]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int$ $f(\tan x) \sec ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(\tan x)$ $\mathrm{d}$ $(\tan x)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(\tan x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\sec ^{2} x} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\int \textcolor{Red}{f(\tan x)} \mathrm{d} (\textcolor{Yellow}{\tan x}).$$