荒原之梦 - 第106页共241页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

牛顿-莱布尼兹公式（B007）

问题

设函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int _{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(a)$ $+$ $F(b)$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(a)$ $-$ $F(b)$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(b)$ $+$ $F(a)$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(b)$ $-$ $F(a)$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{f}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{F}(x) \Bigg| _{\textcolor{Orange}{a}} ^{\textcolor{Orange}{b}} =$$ $$\textcolor{Red}{F}(\textcolor{Orange}{b}) \textcolor{Green}{-} \textcolor{Red}{F}(\textcolor{Orange}{a}).$$

变上限积分定义的第二个推论（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{\phi(x)}$ 和函数 $\textcolor{Orange}{\mu(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且变限积分 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{{\int}_{\mu(x)}^{\phi(x)}}$ $\textcolor{Orange}{f(t)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} t}$, 则 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi(x)$ $+$ $\mu(x)$ $\mu(x)$

[B]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi(x)$ $-$ $\mu(x)$ $\mu(x)$

[C]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi^{\prime}(x)$ $+$ $\mu(x)$ $\mu^{\prime}(x)$

[D]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi^{\prime}(x)$ $-$ $\mu(x)$ $\mu^{\prime}(x)$

答案

$$F^{\textcolor{Yellow}{\prime}} =$$ $$\Bigg[ \int_{\textcolor{Orange}{\mu(x)}}^{\textcolor{Orange}{\phi(x)}} f(t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\textcolor{Yellow}{\prime}} =$$ $$f[\textcolor{Orange}{\phi(x)}] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Orange}{\phi} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \textcolor{Orange}{(x)}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$f[\textcolor{Orange}{\mu(x)}] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Orange}{\mu} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \textcolor{Orange}{(x)}.$$

变上限积分定义的第一个推论（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{\phi(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且变上限积分 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{\phi(x)}}$ $\textcolor{Orange}{f(t)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} t}$, 则 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi^{\prime}(x)$

[B]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f [ \phi(x)]$ $\cdot$ $\phi(x)$

[C]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$

[D]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi ^{\prime} (x)]$ $\cdot$ $\phi(x)$

答案

$$\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)} =$$ $$\Bigg[ \int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{\phi(x)}} \textcolor{Red}{f(t)} \mathrm{d} t \Bigg] \textcolor{Yellow}{^{\prime}} =$$ $$f[\textcolor{Red}{\phi(x)}] \cdot \textcolor{Red}{\phi} \textcolor{Yellow}{^{\prime}} \textcolor{Red}{(x)}.$$

变上限积分的定义（B007）

问题

设函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $F(x)$ $=$ $\int_{b}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $F(x)$ $=$ $\int_{a}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $F(x)$ $=$ $\int_{x}^{a}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[D]. $F(x)$ $=$ $\int_{x}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\textcolor{Red}{F(x)} \textcolor{Green}{=}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{x}} \textcolor{Red}{f(t)} \mathrm{d} t$$

利用定积分计算函数平均值（B007）

问题

根据定积分的性质，以下哪个选项是函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 上的平均值？

选项

[A]. $\frac{1}{b – a}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $(b – a)$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\frac{1}{a – b}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\frac{1}{b + a}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值：
$$\textcolor{Red}{\frac{1}{b – a}} \textcolor{Green}{\times} \int_{a}^{b} \textcolor{Red}{f(x)} \mathrm{d} x.$$

广义的定积分中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积且恒正或恒负，则一定存在 $\textcolor{Orange}{\xi}$ $\textcolor{Orange}{\in}$ $\textcolor{Orange}{[a, b]}$, 使得关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $g(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $g(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\xi$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $f(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Green}{\Bigg [} \textcolor{Red}{f(x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Yellow}{g(x)} \textcolor{Green}{\Bigg ]} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{f(\xi)} \textcolor{Green}{\times} \int_{a}^{b} \textcolor{Yellow}{g(x)} \mathrm{d} x.$$ 其中，$g(x)$ $\geqslant$ $0$ 或者 $g(x)$ $\leqslant$ $0$.

定积分的中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则一定存在 $\xi$ 使得关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(a+b)$ $f(\xi)$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(a-b)$ $f(\xi)$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(b-a)$ $f(\xi)$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- (b-a)$ $f(\xi)$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$(\textcolor{Red}{b} \textcolor{Green}{-} \textcolor{Red}{a}) \textcolor{Orange}{f(\xi)}$$

定积分的估值定理（B007）

问题

若 $\textcolor{Orange}{m}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{M}$, $x$ $\in$ $[a, b]$, 其中 $m$ 和 $M$ 均为常数，则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $m(b-a)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $M(b-a)$

[B]. $M(a-b)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $m(b-a)$

[C]. $m(b-a)$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $M(b-a)$

[D]. $m(b-a)$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $M(b-a)$

答案

$$\textcolor{Red}{m \times (b-a)}$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\textcolor{Red}{M \times (b-a)}$$

定积分比较定理的第二个推论（B007）

问题

以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\Big|}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{Orange}{\Big|}$ 的结论，正确的是哪个？

选项

[A]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[B]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[D]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\textcolor{Red}{\Bigg|} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\Bigg|}$$ $$\textcolor{Orange}{\leqslant}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{|} \textcolor{Green}{f(x)} \textcolor{Red}{|} \mathrm{d} x$$

说明：
对于定积分而言，当 $f(x)$ $>$ $0$ 时，会使定积分的值变大，反之，当 $f(x)$ $<$ $0$ 时，会使定积分的值变小.
由于对定积分整体取绝对值并不能保证 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 而对函数 $f(x)$ 本身取绝对值则可以保证 $|f(x)|$ $\geqslant$ $0$, 于是有如上结论.

定积分比较定理的第一个推论（B007）

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\geqslant}$ $\textcolor{Red}{0}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $0$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $0$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $0$

答案

$$\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0} \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{0} \mathrm{d} x \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

同理可知：
若 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{0}$, 则：$$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\leqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

定积分的比较定理（B007）

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $f(x)$ $\leqslant$ $g(x)$, 则根据定积分的比较定理，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 与 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 是什么关系？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Red}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$ 定积分的比较定理：

在积分区间一样的情况下，不同定积分的相对大小取决于不同被积函数的相对大小.

定积分积分区间的可加性（B007）

问题

若常数 $\textcolor{Orange}{c}$ 是定积分的积分区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 内部或者外部的一个常数，则定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Green}{c}} f(x) \mathrm{d} x + \int_{\textcolor{Green}{c}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$注意：常数 $c$ 不一定要在积分区间 $[a, b]$ 内部，常数 $c$ 也可以在积分区间 $[a, b]$ 外部.

含有常数 $k$ 的定积分的运算性质（B007）

问题

根据定积分的基本性质，若 $k$ 为常数，则 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{k}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{k} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{k} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的减法运算法则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{-}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{-} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{-} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的加法运算法则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{White}{+}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{+} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{+} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x.$$