标签： 线性代数基础

把行列式某行或某列的 $k$ 倍加至另一行或列时的性质（C001）

问题

如果，把一个行列式的某行或某列的 $k$ 倍加至该行列式的另一行或另一列，则该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A].   当 $k$ $>$ $0$ 时行列式变号，当 $k$ $<$ $0$ 时行列式不变号

[B].   当 $k$ $<$ $0$ 时行列式变号，当 $k$ $>$ $0$ 时行列式不变号

[C].   行列式变号

[D].   行列式的值不变


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行列式的值不变

行列式中某两行或两列元素成比例时的性质（C001）

问题

当行列式中某两行或两列元素成比例时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A].   该行列式不等于 $0$

[B].   该行列式等于 $1$

[C].   该行列式等于 $0$

[D].   该行列式不等于 $1$


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该行列式等于 $0$

行列式中某两行或两列元素相同时的性质（C001）

问题

当行列式中某两行或两列元素相同时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A].   该行列式不等于 $0$

[B].   该行列式等于 $1$

[C].   该行列式等于 $0$

[D].   该行列式不等于 $1$


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该行列式等于 $0$

行列式中某一行或列元素全为零时的性质（C001）

问题

当行列式中某一行或者某一列的元素全为 $0$ 的时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A].   该行列式不等于 $0$

[B].   该行列式等于 $1$

[C].   该行列式等于 $0$

[D].   该行列式不等于 $1$


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该行列式等于 $0$

行列式的可拆分性（C001）

问题

如果，行列式中某一行或者某一列的元素可以写成两数之和的形式，如：

$\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$.

则，根据行列式的性质，可以对上面的行列式做什么样的转换？

选项

[A].   $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $\times$ $\left|\begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

[B].   $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $-$ $\left|\begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

[C].   $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $+$ $\left|\begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

[D].   $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} \frac{1}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $+$ $\left|\begin{array}{lll} \frac{1}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{b_{31}} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$


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$\left|\begin{array}{lll} \textcolor{Red}{a_{11}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{Red}{a_{21}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{Red}{a_{31}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} \textcolor{Red}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{Red}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{Red}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\left|\begin{array}{lll} \textcolor{cyan}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{cyan}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{cyan}{b_{31}} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

常数公因子 $k$ 在行列式中的处理方式（C001）

问题

若行列式的某行或列有公因子 $k$, 则以下对该公因子的处理方式中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $-k$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

[B].   $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $k^{n}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

[C].   $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

[D].   $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $k$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$


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$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \textcolor{red}{k} a_{i 1} & \textcolor{red}{k} a_{i 2} & \cdots & \textcolor{red}{k} a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $\textcolor{red}{k}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

行列式与转置行列式之间的关系（C001）

问题

已知，$D$ 为行列式，$D^{T}$ 为该行列式的转置行列式。

则，$D$ 与 $D^{T}$ 之间的关系是什么？

选项

[A].   $D$ $=$ $D^{T}$

[B].   $D$ $=$ $2 D^{T}$

[C].   $D$ $\neq$ $D^{T}$

[D].   $D$ $=$ $- D^{T}$


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$D$ $=$ $D^{T}$