2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 \begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}= (    )

( A ) (ad-bc)^{2}
( B ) -(ad-bc)^{2}
( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}
( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}

解析

本题就是计算行列式数值的题目,根据使用的定理的不同,可以有至少以下两种解法。

解法一

由于 4 阶行列式是没有办法直接使用对角线法则的(对角线法则只适用于二阶或者三阶行列式),因此,这里我们首先想到的就是“降阶”。

降阶的方法里最直接易想的一个就是使用“N 阶行列式的展开定理”,使用某一行或某一列的元素分别与其对应的代数余子式进行乘积后求和的方式计算行列式的数值。在展开时,最好选择 0 比较多的行或列进行展开。

我们可以按第 2 行进行展开,于是有:

\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=a \times (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a& b& 0\\ c& d& 0\\ 0& 0& d \end{vmatrix} + b \times (-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 0& a& b\\ 0& c& d\\ c& 0& 0 \end{vmatrix}=-a(ad^{2}-bcd)+b(adc-bc^{2})=-a^{2}d^{2}+2abcd-b^{2}c^{2}=-(ad-bc)^{2}

综上可知,本题的正确选项是:B

解法二

本题的 0 比较多,因此可以考虑使用以下定理:

Am 方阵,Bn 阶方阵,则:

(当副对角线存在 0 矩阵时可以使用下面的定理。)

\begin{vmatrix} A& O\\ O& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& O\\ C& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& C\\ O& B \end{vmatrix}=|A||B|.

(当主对角线存在 0 矩阵时可以使用下面的定理。)

\begin{vmatrix} O& A\\ B& O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O& A\\ B& C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C& A\\ B& O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|.

我们又知道“交换行列式的两行或者两列行列式变号”,于是我们有:

\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ 0& c& d& 0\\ a& 0& 0& b\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a& 0& 0\\ d& c& 0& 0\\ 0& 0& a& b\\ 0& 0& c& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a\\ d& c \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} a& b\\ c& d \end{vmatrix}=(bc-ad)(ad-bc)=abcd-(bc)^{2}-(ad)^{2}+abcd=-[(ad)^{2} + (bc)^{2}-2abcd]=-(ad-bc)^{2}.

综上可知,本题的正确选项是:B

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2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

a_{1}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix},a_{2}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix},a_{3}=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix},a_{4}=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix}, 其中 c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} 为任意常数,则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) a_{1},a_{2},a_{3}.

( B ) a_{1},a_{2},a_{4}.

( C ) a_{1},a_{3},a_{4}.

( D ) a_{2},a_{3},a_{4}.

解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 a_{1},a_{2},\dots a_{n} 线性相关的结论中,有这样一个结论:

nn 维向量 a_{1},a_{2},\dots a_{n} 线性相关 \Leftrightarrow 行列式 |a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.

上面的结论中提到了 “n 维向量”, 其实 “n 维向量” 是两种向量的合称,第一种叫 “n 维列向量”,即 n1 列,形如:

a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.
第二种叫 “n 维行向量”,即 1n 列,形如:

b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.
观察可知,题目中给出的是 3 维列向量,选项中给出的向量的排布组合方式是横向的,因此组合形成的是 33 列的向量组,符合使用上述有关结论的条件。

此外,为了方便计算,这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法,如下:
只要主对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.

注:上述公式中 \star 所在的区域表示该区域不是全部由 0 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.

注:上述公式中 \star 所在的区域表示该区域不是全部由 0 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项:

\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.

-c_{1} \neq 0 时,a_{1},a_{2},a_{3} 的线性相关不成立。

B 项:

\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.
c_{1} \neq 0 时,a_{1},a_{2},a_{4} 的线性相关不成立。

C 项:

\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.

a_{1},a_{3},a_{4} 的线性相关性恒成立。

D 项:

\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.

-c_{3}-c_{4} \neq 0 时,a_{2},a_{3},a_{4} 的线性相关不成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

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