概率论:理解事件的互斥,对立与独立

性质

AB 为互斥(互不相容)事件 \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow AB 不能同时发生。

AB 为对立(互逆)事件 \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing 且 A \cup B = \Omega \Leftrightarrow AB 在一次试验中必然发生且只能发生一个.

P(A)=0P(A)=1, 则 A 与任何事件都相互独立。

AB 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B).

AB 互斥(或互逆)且均为非零概率事件,则 AB 不相互独立。

AB 相互独立且均为非零概率事件,则 AB 不互斥。

图解

AB 互斥(互不相容)关系如图 1 所示:

图 1

AB 对立(互逆)关系如图 2 所示:

图 2

AB 相互独立关系如图 3 所示:

图 3

AB 互逆,互斥与独立之间的推导关系如图 4 所示:

图 4

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2013 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,a 为常数且大于零,则 P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=____.

解析

本题涉及的知识点是指数分布。

指数分布中随机变量的取值区间是 [0,\infty), 如果一个随机变量呈指数分布,则可以记作:

X \sim E(\lambda),(\lambda > 0).

在指数分布(以及其他连续性随机变量的概率模型)中有两个和概率有关的函数,分别是“概率密度函数”和“概率分布函数”。

首先我们需要搞清楚“概率密度函数”和“概率分布函数”的区别,这样我们才能知道该用哪个公式解答本题。

概率密度函数

连续性随机变量中的“概率密度函数”对应于离散型随机变量中的“概率函数”。概率密度函数描述的是单独一个特定的随机变量的概率。

指数分布的概率密度函数公式表示如下:

f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0& \\ 0,x \leqslant 0& \end{matrix}\right.

上面的概率密度函数中,x 为随机变量。

概率分布函数

连续性随机变量中的“概率分布函数”对应于离散型随机变量中的“概率分布列表”。概率分布函数描述的是一系列(通常是整个概率模型取值范围内)的随机变量对应的概率。

指数分布的概率分布函数公式表示如下:

F(x;\lambda )=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x \geqslant 0& \\ 0,x < 0& \end{matrix}\right.

上面的概率分布函数中,x 为随机变量,\lambda 为率参数,\lambda 描述的是每单位时间内发生某事件的次数。

根据上面的概率分布函数,我们知道,在服从参数 \lambda 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{-\lambda x},(x>0)

此外,如果令 \theta = \frac{1}{\lambda}, 则在服从参数为 \theta 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{- \frac{x}{\theta }},(x>0)

经过上面的分析,再结合题目中给出的信息,我们现在知道,应该使用指数分布中的概率分布函数解答本题。

由于该指数分布的参数为 1, 于是我们知道 \lambda = 1.
之后,根据条件概率公式:

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} , (P(A) > 0.)

我们可以对原式作如下转换:

P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=\frac{P(Y \leqslant a + 1) \cap P(Y > a)}{P(Y>a)}=\frac{P( a < Y \leqslant a+1)}{P(Y>a)}=\frac{ F(a+1)-F(a)}{ 1 - F(a) }=\frac{1-e^{-(a+1)}-(1-e^{-a})}{1-(1-e^{-a})}=\frac{-e^{-(a+1)}+e^{-a}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}-e^{-a-1}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}(1-e^{-1})}{e^{-a}}=1-e^{-1}.

综上可知,本题的正确选项是:1-e^{-1}

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2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),E(XY^{2})=____.

解析

由于在正态分布 X \sim N(\mu, \sigma^{2})E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}. 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是,根据题目中的条件我们知道,E(X)=E(Y)=\mu,D(X)=D(Y)=\sigma^{2}.

又由 \rho=0 我们知道,XY 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质:

X_{1},X_{2},\dots , X_{n},Y_{1},Y_{2},\dots , Y_{m} 相互独立,f(\cdot)n 元连续函数且 g(\cdot)m 元连续函数,则 f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m}) 也相互独立。

因此,我们知道,XY^{2} 也相互独立,于是有:
E(XY^{2})=E(X)E(Y^{2})=E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).

综上可知,本题的正确答案是:\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})

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2015 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=____.

解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

正态分布

正态分布通常用下面的公式表示:

X \sim N(\mu,\sigma^{2}).

其中 \mu 表示数学期望(或称“均数”),\sigma^{2} 表示方差,\sigma 表示标准差。

参数 \mu 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置,正态分布的图像以 x= \mu 为对称轴,左右完全对称。在正态分布中,数学期望=均数=中位数=众数= \mu.

参数 \sigma^{2} 决定了正态分布中随机变量的离散程度,\sigma 越小,数据就越集中,反之,若 \sigma 越大,数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是,当 \sigma 越小的时候,正态分布的图像越窄高,\sigma 越大的时候,正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 (\mu - \sigma, \mu + \sigma) 区间内存在拐点,拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地,X \sim N(0,1) 为标准正态分布,其分布图象关于 y 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像,反映了参数 \mu\sigma 对正态分布图像的影响,其中红色线表示的为标准正态分布:

图 1. 由Inductiveload – self-made, Mathematica, Inkscape,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3817954

二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式:

(X,Y) \sim N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).

在本题中,需要用到关于二维正态分布的如下两个性质:

X \sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2});Y \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2});

XY 独立的充要条件是 \rho=0.
我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像:

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示:

图 2. 二维正态分布条件概率密度函数图像

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束,下面是具体的做题过程。

由题可知,\rho=0, 因此,XY 相互独立,根据“随机变量的独立性”中的定理,我们知道,这也就意味着:

P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.

于是,我们有:

P\{XY-Y<0\}=P\{Y(X-1)<0\}=P\{Y>0,X-1<0\}+P\{Y<0,X-1>0\}=P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}=P\{Y>0\}P\{X<1\}+P\{Y<0\}P\{X>1\}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

综上可知,本题的正确答案是:\frac{1}{2}

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2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 X 的概率分布为 P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots., 则 E(X^{2})=__.

解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).

于是我们有:

C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.

由于在泊松分布中,D(X)=E(X)=\lambda.

而且我们知道 D(X)E(X) 有如下关系:

D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.

因此,只要我们求出 \lambda 的数值,也就是用 C 表示出 \lambda 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}C 表示出 \lambda 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 C 表达出 \lambda, 那么表达式中也会含有未知变量 k.

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 E(X^{2}), 就必须知道 D(X)E^{2}(X), 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 \lambda 的数值,而要知道 \lambda 的数值必然需要通过已知的常数 C 来确定,根据公式,C\lambda 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.

但是,上面这个公式中存在一个未知量 k.

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 k 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 k 的值,也没有可供解出 k 的关系式。不过,既然要解出 k 就先来想想 k 的含义吧。

在泊松分布的定义中,X 是随机变量,由泊松分布公式中的 “P{X=k}” 我们知道,k 就是用来给 X 赋值的,不同的 k 值对应不同的概率,而 k 的取值范围是 0,1,2,\dots n. 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 k 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 1, 即:

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) e 的表示方法。

e

有两种表示方法,如下:

方法一:e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.

方法二:e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.

注意:0!=1.

于是,我们有:

C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.

又因为 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}, 我们有:

\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.

于是有:

\lambda=1,k=1.

到这里就解出 \lambda 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 E(X^{2}):

E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.

综上可知,本题的正确答案是:2

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2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

A,B,C 是随机事件,AC 互不相容,P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3},P(AB|\bar{C})=__.

解析

AC 互不相容 \Rightarrow A \cap C = \phi \Rightarrow P(AC)=P(\phi)=P(\phi \cap B) \Rightarrow P(AC \cap B)=0.

于是,我们有:

P(AB|\bar{C})=\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}=\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}=\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.

综上可知,正确答案:\frac{3}{4}.

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