2015 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|)dx=__.

解析

本题存在(关于原点对称的)对称区间 “[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]“, 在求积分的时候,如果看到这样的对称区间,则要考虑被积函数是不是奇函数或者偶函数。如果是奇函数,则其在对称区间上的积分为 0, 如果是偶函数,则我们可以只计算其大于 0 或者小于 0 方向上的积分,之后再乘以 2 即可获得整个积分区间上的积分数值。

由于:

\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{1+\cos x} \Rightarrow f(-x)=-f(x).

因此,f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} 是一个奇函数,因此,其在对称区间 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 上的积分为 0.

又由于:

|-x|=|x| \Rightarrow g(-x)=g(x).

因此,g(x)=|x| 是一个偶函数。

于是:

原式 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|x|dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xdx=2 \cdot \frac{1}{2}x^{2}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}.

当然,本题除了可以使用积分的原理计算之外,还可以画图计算面积,如图 1:

Figure 1. y=|x| 的函数图像

根据上图,我们有:

\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2=\frac{\pi^{2}}{4}.

综上可知,本题的正确答案是:\frac{\pi^{2}}{4}.

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2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析

题目

\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}=e, 则 k=__.

解析

观察本题可以发现,这是一个求极限的式子,而且等式的右边是 e, 符合“两个重要极限”中的第二个重要极限的一部分特征。

两个重要极限如下:

\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}\frac{\sin x}{x}=1,\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e.

由于题目中的式子不存在上述公式中的 1, 因此,我们需要构造出这个 1, 即:

1+\square=\frac{1-\tan x}{1+\tan x }\Rightarrow \square = \frac{1-\tan x}{1+\tan x }-1=\frac{1-\tan x}{1+\tan x }-\frac{1+\tan x}{1+\tan x}=\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}.

于是,原式= \lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}=e. (1)

由于当 x \rightarrow 0 时,\frac{-2\tan x}{1+\tan x} \rightarrow 0\frac{1}{\sin kx} \rightarrow \infty, 所以,符合使用“两个重要极限”的条件,可以继续接下来的计算。

Figure 1. 正切函数图像,使用 www.desmos.com 制作

接下来继续向公式的方向构造等式。

(1) = \lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}} (2)

根据公式,我们知道:

\lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}=e.

于是:

(2)=e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}=e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}} (3)

x \rightarrow 0 时,\tan x \rightarrow 0 是不可以带入原式中的(只有非零和非无穷的数值可以带入原式中。),不过当 x \rightarrow 0 时,(1+\tan x) \rightarrow 1 是可以带入原式中的,于是:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{\sin kx}.

又因为当 x \rightarrow 0 时,\sin x \sim \tan x \sim x, 于是:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{\sin kx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2x}{kx}=-\frac{2}{k}.

即:

e^{-\frac{2}{k}}=e \Rightarrow -\frac{2}{k}=1 \Rightarrow k=-2.

综上可知,正确答案是:-2

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2015 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)=x+a \ln(1+x)+bx\sin x,g(x)=kx^{3}x \rightarrow 0 时等价无穷小,求常数 a,b,k 的取值.

解析

由于 x \rightarrow 0 时,f(x)g(x) 是等价无穷小,因此有:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, 即:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+a \ln(1+x)+bx \sin x}{kx^{3}}=1.

又由麦克劳林公式:

1. \sin x=x+o(x^{2});

注 1:根据麦克劳林公式,\sin x 也可以等于 x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4}), 但是这里为了能够在接下来的计算中使得分子分母可以使用“对照”的方式求解,分子的最大幂次不能大于分母的最大幂次。由于 \sin x 在使用麦克劳林公式替换之后还需要和 x 相乘得到二次幂,因此这里只能令 \sin x 等于 x+o(x^{2}).

2. \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}).

注 2. 对 \ln(1+x) 项数的选取所依据的原因和注 1 一致。

于是,我们有:

1=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}.

于是,我们有:

\left\{\begin{matrix} 1+a=0\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k \end{matrix}\right.

解得:

\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-\frac{1}{2}\\ k=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.

手写作答

图 1

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2017 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

微分方程 y''+2y'+3y=0 得通解为__.

解析

观察可知,这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。

二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下:

形如 y''+py'+qy=0, 其中 p,q 均为常数。

特征方程为:\lambda^{2}+p \lambda+q=0,

(1) 当 \lambda_{1},\lambda_{2} 为互异实根时,微分方程得通解为 y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x};

(2) 当 \lambda_{1}=\lambda_{2} 时,通解为 y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x};

(3) 当 \lambda=\alpha \pm i \beta (复数根)时,通解为 y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x).

在本题中,特征方程中的 p=2,q=3, 因此特征方程为:

\lambda^{2}+2\lambda+3=0. (1)

此外,我们还知道,对于形如 ax^{2}+bx+c=0 的一元二次方程,其求根公式为:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

于是,我们知道,对于 (1) 式:

\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}. (2)
我们又知道,在虚数中(复数包含虚数和实数),虚数单位 i 有如下性质:

i^{2}=-1.

于是,(2) 式可以写成:

\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}=\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.

于是,\alpha=-1,\beta=\sqrt{2}.

因此,正确答案是:

y=e^{-x}(C_{1}\cos \sqrt{2}x+C_{2}\sin\sqrt{2}x)

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2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法)

题目

设有两个数列 \{a_{n}\}, \{b_{n}\}, 若 \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0, 则()

( A ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 收敛时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} 收敛.

( B ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 发散时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} 发散.

( C ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 收敛时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2} 收敛.

( D ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 发散时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2} 发散.

解析

由题目信息可知,当 n \rightarrow \infty 时,数列 \{a_{n}\} 是收敛的。

方法一:反例法

A 项:

a_{n}=b_{n}=(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}.

则此时 \{a_{n}\} 是一个收敛数列,\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 也收敛(根据交错级数的莱布尼茨准则判别法可得此结论),但 \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} 发散(由常见级数的敛散性可得此结论)。

由此构成了对 A 项的反例,A 项错误。

注 1. 交错级数 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}(u_{n}>0) 的判别法(莱布尼茨准则):

若交错级数 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}(u_{n}>0) 满足如下条件:

u_{n} \geqslant u_{n+1},(n = 1,2,3, \dotsc);

\lim u_{n} = 0,

则交错级数收敛,其和 S \leqslant u_{1}, 余项 |R_{n}| \leqslant u_{n+1}.

注 2. 常见级数的敛散性:

p 级数 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.

B 项:

a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}, 则

\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.

此时,数列 \{a_{n}\} 是一个收敛数列,\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 是发散的,但是 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} 是收敛的。

由此构成了对 B 项的反例,B 项错误。

D 项:

和 B 项一样,令 a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}, 则 \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} 是收敛的。

由此构成了对 D 项的反例,D 项错误。

综上可知,排除了 A,B,D 三个选项后,正确选项一定是 C 项。

方法二:用级数收敛的必要条件推导证明

我们可以使用级数收敛的必要条件直接证明 C 项正确。

级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛的必要条件:\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0.

由于 \lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 是级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛的必要条件,因此,根据“小充分大必要”的原则,我们知道:

\sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0;

\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \nRightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛。

由于 \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, 从而存在 M>0, 有 |a_{n}| \leqslant M, 即:

a_{n}^{2}b_{n}^{2} \leqslant M^{2}b_{n}^{2}.
又因为 \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 收敛,故有:

\lim_{n \rightarrow \infty}|b_{n}|=0.

又根据如下定理:

c 为非零常数,则 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\sum_{n=1}^{\infty}cu_{n} 具有相同的敛散性。

因此,\sum_{n=1}^{\infty}M^{2}|b_{n}| 收敛,即:

\lim_{n=1}^{\infty}M^{2}|b_{n}|=0.

于是:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}=\lim_{n \rightarrow \infty}M^{2}|b_{n}|=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}=0.

接下来,根据“比较判别法的极限形式”:

\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\sum_{n=1}^{\infty}v_{n} 均为正项级数,且 \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}=A(v_{n} \neq 0).

① 若 0 \leqslant A \leqslant +\infty, 且 \sum_{n=1}^{\infty}v_{n} 收敛,则 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛.

② 若 0 \leqslant A \leqslant +\infty, 且 \sum_{n=1}^{\infty}v_{n} 发散,则 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 发散.

于是我们知道,\sum_{n=1}^{\infty}{M^{2}b_{n}^{2}} 收敛。

又因为 a^{2}b^{2} \leqslant M^{2}b^{2}, 所以:

\sum_{n=1}^{\infty}{a^{2}b_{n}^{2}} 收敛.

由此得证 C 项正确。

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2018 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

题目

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx,N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x}{e^{x}},K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx,则 ( )

( A ) M>N>K

( B ) M>K>N

( C ) K>M>N

( D ) K>N>M

解析

在解答题目时,能化简的要先化简,能计算出具体数值的要先计算出具体数值。
首先观察本题,发现 M 对应的式子应该是可以化简或者通过积分计算出具体的数值。于是:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[1+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx

计算到上面这一步之后,我们有两种方法可以继续上面的计算,一种方法是利用积分函数在对称区间上的性质,另一种是利用基本积分公式直接计算。

下面分别使用上述提到的两种方法展开计算。

方法一:利用积分函数在对称区间上的性质

这里说的“对称区间”指的是关于原点对称的区间,观察题目可知,题目中的积分函数的上限和下限组成的区间 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 正好是关于原点对称的。

根据积分的几何意义,我们知道,奇函数在关于原点对称的对称区间上的积分是等于 0 的。

y=x,x \in (-\infty,+\infty) 就是一个典型的奇函数,如图 1:

Figure 1. 奇函数图像,使用 www.desmos.com 制作

因此,接下来,我们如果能证明一个函数是奇函数,就可以证明这个函数在关于原点对称的区间上的积分是 0.

于是,令:

f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}

则:

\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}} = -\frac{2x}{1+x^{2}} \Rightarrow f(-x) = -f(x).

因此 f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} 是一个奇函数,于是:

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx=0.

即:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1 d x.

方法二:利用基本积分公式直接计算

由前面的计算,我们已知,M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx, 于是,根据积分公式:

d(x^{\mu})=\mu x^{\mu-1}dx.

我们可以令 2xdx=d(1+x^{2}).

于是:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2}).

接下来,根据基本积分公式:

\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| + c.

我们有:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})=x+\ln |1+x^{2}| + c |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|+c-(-\frac{\pi}{2})-|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|-c=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.

又因为,M 的积分上限 \frac{\pi}{2} 减去 M 的积分下限 -\frac{\pi}{2} 也等于 \pi.

根据定积分的基本性质:

\int_{a}^{b}1dx=b-a.

我们知道:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx.

补充:

如果是计算 \int \frac{2x}{1-x^{2}}dx, 则我们至少有以下两种计算方法:

\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=-\int \frac{1}{1-x^{2}}=-\ln |1-x^{2}| +c;

或者:

\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=\int(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})dx = -\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=-\ln|x^{2}-1|+c.

至此,我们分别使用两种方法完成了对 M 的化简计算。

根据定积分的比较定理:

设 f(x) \leqslant g(x),x \in [a,b], 则 \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx.

观察题目可知,题目中给出的三个定积分 M,N,K 的上限和下限都是一样的,因此,我们可以使用上述比较定理比较他们的大小。

由于在 M,N,K 中,我们目前已知的只有 M 的数值,因此接下来我们先比较 NK 中的积分函数与 1 的大小关系。

首先来判断 N 的积分函数和 1 的大小关系。

x=0 时,1+x=e^{x}=1;

x<0 时,e^{x} 的减小速度小于 1+x 的减小速度;

x>0 时,e^{x} 的增长速度大于 1+x 的增长速度。

也就是说,在整个定义域内,y=e^{x} 的函数图像始终在 y=1+x 的上方或者和 y=1+x 重合,他们二者的图像如图 2:

Figure 2. 两个函数的对比图像,使用 www.desmos.com 制作

所以 \frac{1+x}{e^{x}} \leqslant 1,x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].
再来判断 K 的积分函数和 1 的大小关系。

我们知道,当 x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 上时,y=\cos x \geqslant 0 的,如图 3:

Figure 3. 余弦函数的图像,使用 www.desmos.com 制作

于是 1+\sqrt{\cos x} \geqslant 1.

综上可知:

K \geqslant M \geqslant N, 正确选项是:C

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2008 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

题目

设函数在 f(x)(- \infty, + \infty) 内单调有界,\{x_{n}\} 为数列,下列命题正确的是 ( )

( A ) 若 \{x_{n}\} 收敛,则 \{f(x_{n})\} 收敛.

( B ) 若 \{x_{n}\} 单调,则 \{f(x_{n})\} 收敛.

( C ) 若 \{f(x_{n})\} 收敛,则 \{x_{n}\} 收敛.

( D ) 若 \{f(x_{n})\} 单调,则 \{x_{n}\} 收敛.

解析

解答本题之前,我们需要清楚“极限”,“收敛”和“有界”三者之间的区别与联系。

当我们说“极限”时,我们通常说的是“函数极限”,当我们说“收敛”时,我们通常说的是“数列收敛”。说“数列收敛”就是说该数列存在极限。我们可以认为,“收敛”是用于描述离散数据的,“极限”是用于描述连续数据的。当我们在计算或者证明数列极限的时候,我们其实是将数列看作了“连续数据”来对待。

如果一个数列收敛,那么这个数列必然有界,但是如果一个数列有界却不一定收敛,例如下面这个数列有界,但不收敛:

\{1,-1,1,-1,1,-1\}.

对于函数也一样,例如 y=\sin x 是一个有界函数,但不收敛。

只有单调并且有界的数列才一定收敛(也意味着该数列一定有极限),这就是数列极限的“单调有界原理”。

注:当“单调有界原理”用在数列上时可以证明数列有界;当单调有界原理用在函数上时只能证明函数有确界,即有上确界或者下确界。

此外,本题还涉及复合函数,因此还必须清楚复合函数的几个性质:

  • 复合函数的单调性

单调性包含单调递增和单调递减。对于复合函数而言,如果外函数和内函数都是单调函数,则在定义域内,它们的复合函数也是单调函数。至于是单调增还是单调减,可以用“同增异减”来判定。

“同增异减”的含义就是,如果外层函数是增函数,则复合函数的增减性与内函数的增减性一致;

如果外层函数为减函数,则复合函数的增减性与内函数的增减性相反。

“同增异减”也可以理解成,如果复合前两个函数都为增函数或者都为减函数,则复合函数为增函数;如果复合前两个函数一个为增函数,一个为减函数,则复合函数为减函数。

注:无论是单增还是单减,只要内函数和外函数都是单调函数,则复合函数也一定是单调函数。

  • 复合函数的奇偶性

① 如果内函数为奇函数,则复合函数的奇偶性与外函数的奇偶性保持一致;

② 如果内函数为偶函数,则复合函数必为偶函数。

  • 复合函数的周期性

① 若内函数为周期函数,则复合函数一定也是周期函数;

② 若外函数为周期函数,则复合函数不一定为周期函数。

  • 复合函数的有界性

① 若内函数有界且外函数有界,则复合函数一定有界;

② 若内函数无界但外函数有界,则复合函数一定有界;

(上述两条总结一下就是,无论内函数是否有界,只要外函数有界,则复合函数一定有界。)

③ 若内函数有界但外函数无界或者内外函数都无界,这种情况下不能确定或者否定复合函数是有界还是无界,如果要确定或否定,还需要其他条件辅助分析。

有上面的阐述,我们可以发现,在判断复合函数的性质的时候,第一步要做的事情就是区分出内函数和外函数。本题在内外函数的区分上可能具有一定的迷惑性,我们不能认为在复合函数 “\{f(x_{n})\}” 中,”\{x_{n}\}” 是外函数而 “f(x)” 是内函数,这是错误的。符号 “\{” 和 “\}” 只是说明这是一个数列,而并不是一个运算符号,其意义是多个 “f(x_{n})” 的值组成的数列,因此外函数是 “f(x)“, 内函数是 “x_{n}.”

下面是针对每个选项的具体分析:

A 项:

\{x_{n}\} 收敛 → \{x_{n}\} 有界;

f(x) 有界 + \{x_{n}\} 有界 → \{f(x_{n})\} 有界;

但是数列有界不能直接推出数列收敛,必须是单调且有界的数列才能推出收敛的结论。

A 项错误。

B 项:

\{x_{n}\} 单调 + f(x_{n}) 单调 → \{f(x_{n})\} 单调;

f(x_{n}) 有界 → \{f(x_{n})\} 有界;

\{f(x_{n})\}单调有界 → \{f(x_{n})\} 收敛。

B 项正确。

C 项:

由复合函数收敛不能确定其内函数是否也收敛。

C 项错误。

D 项:

f(x_{n}) 有界 → \{f(x_{n})\} 有界;

\{f(x_{n})\}单调有界 → \{f(x_{n})\} 收敛;

但是 \{f(x_{n})\} 收敛推不出内函数 \{x_{n}\} 也收敛,和 C 项原因一致。

D 项错误。

综上可知,正确选项是:B

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2018 年研究生入学考试数学一选择题第 3 题解析

题目

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+3}{(2n+1)!}=__

( A ) \sin 1+\cos 1.

( B ) 2\sin 1 + \cos 1.

( C ) 2 \sin 1 + 2 \cos 1.

( D ) 2 \sin 1 + 3 \cos 1.

解析

看到求和与阶乘,我们应该想到使用麦克劳林公式,因为麦克劳林公式中也包含求和运算与阶乘运算。因此,我们解答本题的入手点就是通过等价变形的方式把题目中的式子往常用的麦克劳林公式上凑。

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+3}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+1+2}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n+1}{(2n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}+2 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}.

注意:上面式子中 “\sum” 符号前面的 “2” 特别容易在计算过程中丢掉,一定要记着带上!!!

我们知道在常用的五个函数的麦克劳林公式中,存在 “(2n+1)!” 和 “(2n)!” 是下面两个公式:

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x \in R; \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!},x \in R.

当我们令 x=1 时,就有:

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!} \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}

于是我们就有:

原式 = \cos 1 + 2 \sin 1 = 2 \sin 1 + \cos 1.

综上可知,正确选项是:D

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2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c, 其中 k,c 为常数,且 c \neq 0, 则 ( )

( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.

( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.

( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.

( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.

解析

解答本题需要用到一个等价无穷小替换:

x - \arcsin x \sim \frac{1}{3}x^{3}.

于是我们有:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x^{k}} = c.

由于 c 是常数,\frac{1}{3}x^{3}x^{k} 的同阶无穷小。

于是,k=3,c=\frac{1}{3}.

综上可知,正确答案是:D

EOF

2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析(三种方法)

题目

极限 \lim_{x \rightarrow \infty}[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=()

( A ) 1.

( B ) e.

( C ) e^{a-b}.

( D ) e^{b-a}.

解析

方法 一

观察可以发现,本题是 1^{\infty} 型不定式,处理该种类型的不定式可以尝试使用“两个重要极限”中的第二个重要极限:

\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e;
\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e;
推广之,有:
一般地,\lim \square=0 \Rightarrow \lim (1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e.

于是,我们有如下计算过程:

\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}-1]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}-(x-a)(x+b)} \cdot x \cdot \frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-(x^{2}+bx-ax-ab)}{x^{2}+bx-ax-ab}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-x^{2}-bx+ax+ab}{x^{2}+bx-ax-ab}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{x^{2} \cdot (a-b)+abx}{x^{2}+bx-ax-ab}}=e^{a-b}.

方法 二

对于类似本题这样的幂指函数,我们还可以使用“e 抬起法”求解。

步骤如下:

\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\ln[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}}.

由于在 x \rightarrow \infty 时,\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x^{2})'}{[(x-a)(x+b)]'} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{2x+b-a} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x)'}{(2x+b-a)'} = \frac{2}{2} = 1.

我们知道,当 \ln 函数里面的变量极限为 1 的时候,我们可以用 \ln (1+x) \sim x 这个等价无穷小,因为把 \ln 函数里面的变量减去 1 (为了保持不变再加上 1) 后就有等于 0 的部分存在了,就满足了使用等价无穷小的条件。

于是,\lim_{x \rightarrow \infty} x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} x \ln[1 + \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} - 1] = \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} - 1] = \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{x^{2} - (x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(a-b)x^{2}}{x^{2}} = a-b.

于是:

\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}} = e^{a-b}.

方法三

除了像方法二中一样在计算的一开始就使用“e 抬起法”之外,还可以在对原式化简变形之后再使用“e 抬起法”。在本解法中,同样涉及对等价无穷小替换的使用,步骤如下:

\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}}]^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty} [(\frac{x-a}{x}) \cdot (\frac{x+b}{x})]^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x}.

到这里,就出现了幂指函数,于是,接下来使用“e 抬起法”:

\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x} = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})}.

由于,\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0.

而当 \frac{1}{x} \rightarrow 0 时,\frac{a}{x}\frac{b}{x} 都相当于有限个无穷小的乘积,结果仍然是无穷小,于是,我们可以使用如下等价无穷小替换:

\square \rightarrow 0 时, \ln(1 - \square) \sim \square

于是:

\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})} = \lim_{x \rightarrow \infty}e^{-x(-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x(\frac{b}{x})} = e^{a} \cdot e^{-b} = e^{a-b}.

EOF

2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 f(x) 具有 2 阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x, 则在区间 [0,1] 上 ( )

( A ) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x).

( B ) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x).

( C ) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x).

( D ) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x).

解析

如果要使用凹凸性的知识解答本题,则首先需要用到函数凹凸性的有关知识,也就是要明确一个函数的 1 阶导和 2 阶导反映出来的原函数形态。

总的来说,我们可以这么认为:

1 阶导反映函数的单调性。在一个区间内,若 1 阶导 f'(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 单调递增;若 1 阶导 f'(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 单调递减。

2 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内,若 2 阶导 f''(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凹的;若 2 阶导 f''(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凸的。

此外,我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式:

  • 两点式(已知两点的坐标)
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},其中 x_{1} \neq x_{2} 且 y_{1} \neq y_{2}.
  • 点斜式(已知斜率和其中一点的坐标)
y-y_{1}=k(x-x_{1}).
  • 截距式(已知函数在 x 轴和 y 轴上的截距)
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, 其中 a \neq 0 且 b \neq 0 .
  • 斜截式(已知斜率和函数在 y 轴的截距)
y=k x + b .

解法一

g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x \Rightarrow g(x)=f(0)-f(0)x+f(1)x \Rightarrow g(x)-f(0)=x[f(1)-f(0)] \Rightarrow g(x)-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \times (x-0).

上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形:

\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}).

于是,我们知道,区间 [0,1] 上的函数 g(x) 其实就是点 (0,f(0)) 和点 (1,f(1)) 之间的连线。

又由于在区间 [0,1] 上,当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) 是一个凹函数,即 f(x) \leqslant g(x),

因此,正确的选项是:D

方法二

既然题目是让比较 f(x)g(x) 的大小关系,那么我们自然能想到的就是对 f(x)g(x) 做差,根据结果是大于 0 还是小于 0 来判断他们的大小关系,于是有:

F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x=f(x)-f(0)+f(0)x-f(1)x.

于是有:

F(0)=f(0)-f(0) \times 1 - 0 = 0; F(1) = f(1) - f(0) \times 0 -f(1) = 0.

即:

F(0)=F(1)=0.

又由于题目中提到了 f(x) 存在 2 阶导函数,因此,我们需要把这个条件用上:

F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1); F''(x)=f''(x).

因此,若 f''(x) \geqslant 0,F''(x) \geqslant 0,F(x) 为凹函数,因此有:

F(x) \leqslant F(0)=F(1)=0 \Rightarrow F(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x)-g(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x) \leqslant g(x).

因此,正确的选项是:D

EOF

2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续,其 2 阶导函数 f''(x) 的图形如图 1 所示,则曲线 y=f(x) 的拐点的个数为 ( )

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

图 1

解析

如图 2 所示,令左边的曲线与 x 轴的交点为点 x_{1}, 坐标原点为点 x_{2}, 右边曲线与 x 轴的交点为点 x_{3}:

图 2

由于本题涉及 2 阶导数,因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定:

若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左、右两侧邻域内异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x) 的拐点。

我们知道,对于连续函数的图像曲线而言,拐点处的图像曲线要么等于零,要么不存在。图 2 中的 x_{1},x_{2},x_{3} ( f''(x_{2}) 虽然不存在,但是由题目中给出的“函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续”的条件我们知道,f''(x_{2}) 在点 x_{2} 的左右两侧邻域是连续的,可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 x_{1} 两侧的函数都为正(f''(x) 的图像在 x 轴上方),因此,不满足“左右两侧邻域内异号”的条件,因此,点 x_{1} 不是函数 f(x) 的拐点。点 x_{2}x_{3} 两侧邻域的函数图像均异号,因此点 x_{2}x_{3} 满足函数拐点存在的充分条件,函数 f(x) 有两个拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

2011 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

曲线 y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4} 的拐点是 ( )

( A ) (1,0).

( B ) (2,0).

( C ) (3,0).

( D ) (4,0).

解析

本题主要涉及求导,曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判定,拐点的定义,拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 上连续,若对 I 上任意两点 x_{1}, x_{2}, 恒有:

f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<(>)\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},

则称曲线 y=f(x) 在区间 I 上是向凹(凸)的.

曲线凹凸性的判定如下:

设函数 f(x)[a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有二阶导数,那么:

① 如果在 (a,b)f''(x)>0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凹的;

② 如果在 (a,b)f''(x)<0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凸的.

拐点的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 内连续,x_{0}I 的内点,如果曲线 y=f(x) 在经过点 (x_{0},f(x_{0})) 时凹凸性发生了改变,则称点 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下:

第一充分条件:若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左右两侧邻域异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x)的拐点.

第二充分条件:设 f(x)x=x_{0} 的某邻域内有三阶导数,且 f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\neq0, 则 (x_{0},f(x_{0}))f(x) 的拐点.

回到本题。本题的原式是:

y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}.

观察可知,当 x=1,2,3,4 时都可以使 y=0, 而我们在找拐点的时候,最重要的就是找到哪个点是大于零的,哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的,上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数,但是上面的式子太长,求导之后会更长,为了方便计算,尽可能避免出错,我们作如下约定:

令:

A=(x-1);

B=(x-2)^{2};

C=(x-3)^{3};

D=(x-4)^{4}.

之后,我们有:

原式=y=ABCD.

于是我们有:

y'=A'BCD+A(BCD)';

y''=A''BCD+A'(BCD)'+A'(BCD)'+A(BCD)'';

y'''=A'''BCD+A''(BCD)'+A''(BCD)'+A'(BCD)''+A''(BCD)'+A'BCD''+A'(BCD)''+A(BCD)''';

y'=0, 则有:

y'(2)=y'(3)=y'(4)=0;

y'(1)\neq0. (x=1 对应 A, 但是 A' 是一个常数,不受 x 的影响,因此 x=1 不会使 y'=0, 以下计算过程中的判断与此类似.)

y''=0, 则有:

y''(3)=y''(4)=0;

y''(1)\neq0, y''(2)\neq0.

y'''=0, 则有:

y'''(4)=0;

y'''(1)\neq0, y'''(2)\neq0, y'''(3)\neq0.

通过上面的计算我们知道,y''(3)=0y'''(3)\neq0, 因此,根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件,点 (3,0) 是曲线 y 的拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)

题目

下列命题中正确的是()

( A ) 若 \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x), 则 \exists \varepsilon > 0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时,f(x) \geqslant g(x).

( B ) 若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|< \varepsilon 时,f(x)>g(x), 且 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}, 则 A_{0}>B_{0}.

( C ) 若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时,f(x)>g(x), 则 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x).

( D ) 若 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x), 则 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时,f(x)>g(x).

解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题,这类题的难点在于除了紧抠概念之外,解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且,概念考察题考察的都是概念的细微之处,一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出,本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看,本题考查了函数极限的定义中当 x \rightarrow x_{0} 时的极限的定义,如下:

已知 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A

任给 \varepsilon >0, 存在正数 \delta, 当 0<x-x_{0}<\delta 时,就有 |f(x)-A|<\varepsilon.

注:上面这个定义说的通俗一点就是,当 xx_{0} 足够接近的时候,f(x)f(x) 的极限 A 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”,如下:

\lim f(x)=A>0, 则在极限管辖的范围内,f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2}).

反之,f(x)>0\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0.

注:当 x \rightarrow x_{0} 时,“极限管辖的范围”指的就是 x_{0} 的去心邻域;当 x \rightarrow \infty 时,“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性,我们需要明确以下几点:

  • 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”,这也是解决所有涉及极限的问题的大前提:要研究和利用极限,则极限必须存在;
  • 保号性都是局部保号性,即只有在极限管辖的范围内才存在保号性;
  • 由极限大于 0 可以推出函数大于 0, 不能推出函数等于 0 或者函数小于 0. 由函数大于 0 可以推出极限大于 0 或者极限等于 0, 而且在不确定极限究竟是只大于 0 还是只小于 0 的情况下,要写成极限大于等于 0 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了:

\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)

这说明 f(x)g(x) 的极限都存在(满足了研究极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤)且 f(x) 的极限大于等于 f(x) 的极限。

于是,我们有:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0

接下来选项给出了:

\exists \varepsilon > 0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出,由上面的条件可以推出 f(x) \geqslant g(x).

这个结论是不对的。原因如下:

若函数 f(x) 的极限 A >0, 则可以推出函数 f(x)>0;

若函数 f(x) 的极限 A<0, 则可以推出函数 f(x)<0;

若函数 f(x) 的极限 A=0, 则不能确定函数 f(x) 是大于 0, 小于 0 还是等于 0. 原因是,如果 A=0 我们不知道函数 f(x) 是在大于 0 的方向上趋近于极限 A, 还是在小于 0 的方向上趋近于极限 A, 抑或 f(x)=0.

如图 1 所示,当函数的极限等于 0 时,函数可能是大于 0 的:

图 1. y=1/x 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

如图 2 所示,当函数的极限等于 0 时,函数也可能是小于 0 的:

图 2. y=1/(-x) 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

第三种情况,当函数的极限等于 0 时,函数可能也是等于 0 的,如图 3 所示:

图 3. y=0 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

因此,已知极限 \lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0, 并不能推导出函数 F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0.

综上可知,选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件:

\exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon

因此,本题符合函数极限保号性的使用条件,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出:

f(x)>g(x)

于是,当我们令 F(x)=f(x)-g(x) 时,可以得出如下结论:

F(x)>0

接着,该选项又给出:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}

这说明函数 f(x) 和函数 g(x) 都是存在极限的,符合我们研究函数极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

最后,该选项给出了他的结论:

A_{0}>B_{0}

有了这个结论,结合前面的条件,我们可以把该选项改写成如下形式:

已知函数 F(x) 存在极限,且函数 F(x)>0, 则 \lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0.

这个结论显然是错误的,因为已知函数大于 0 的时候,其极限是可能等于 0 的,例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 f(x)=\frac{1}{x} 始终是大于 0 的,但是其极限却是等于 0 的。

综上可知,选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显,因为选项中没有指明函数 f(x) 和函数 g(x) 的极限存在,缺少了研究极限问题的大前提,那么,接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过,如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 f(x) 和函数 g(x) 的极限是存在的,那么该选项的表述就是正确的,原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知,选项 C 是错误的。

D 选项

该选项首先给出了如下条件:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)

若我们令 F(x)=f(x)-g(x), 则上面的条件可以改写成:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0

接着选项给出了:

\exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出了它的结论:

f(x)>g(x)

根据前面的分析可知,我们可以将此改写成:

F(x)>0

我们知道,当一个函数的极限存在且大于 0 的时候,在函数极限的管辖范围内,可以推导出该函数也大于 0.

综上可知,选项 D 是正确的。

EOF