2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续,其 2 阶导函数 f''(x) 的图形如图 1 所示,则曲线 y=f(x) 的拐点的个数为 ( )

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

图 1

解析

如图 2 所示,令左边的曲线与 x 轴的交点为点 x_{1}, 坐标原点为点 x_{2}, 右边曲线与 x 轴的交点为点 x_{3}:

图 2

由于本题涉及 2 阶导数,因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定:

若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左、右两侧邻域内异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x) 的拐点。

我们知道,对于连续函数的图像曲线而言,拐点处的图像曲线要么等于零,要么不存在。图 2 中的 x_{1},x_{2},x_{3} ( f''(x_{2}) 虽然不存在,但是由题目中给出的“函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续”的条件我们知道,f''(x_{2}) 在点 x_{2} 的左右两侧邻域是连续的,可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 x_{1} 两侧的函数都为正(f''(x) 的图像在 x 轴上方),因此,不满足“左右两侧邻域内异号”的条件,因此,点 x_{1} 不是函数 f(x) 的拐点。点 x_{2}x_{3} 两侧邻域的函数图像均异号,因此点 x_{2}x_{3} 满足函数拐点存在的充分条件,函数 f(x) 有两个拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

2011 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

曲线 y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4} 的拐点是 ( )

( A ) (1,0).

( B ) (2,0).

( C ) (3,0).

( D ) (4,0).

解析

本题主要涉及求导,曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判定,拐点的定义,拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 上连续,若对 I 上任意两点 x_{1}, x_{2}, 恒有:

f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<(>)\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},

则称曲线 y=f(x) 在区间 I 上是向凹(凸)的.

曲线凹凸性的判定如下:

设函数 f(x)[a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有二阶导数,那么:

① 如果在 (a,b)f''(x)>0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凹的;

② 如果在 (a,b)f''(x)<0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凸的.

拐点的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 内连续,x_{0}I 的内点,如果曲线 y=f(x) 在经过点 (x_{0},f(x_{0})) 时凹凸性发生了改变,则称点 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下:

第一充分条件:若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左右两侧邻域异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x)的拐点.

第二充分条件:设 f(x)x=x_{0} 的某邻域内有三阶导数,且 f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\neq0, 则 (x_{0},f(x_{0}))f(x) 的拐点.

回到本题。本题的原式是:

y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}.

观察可知,当 x=1,2,3,4 时都可以使 y=0, 而我们在找拐点的时候,最重要的就是找到哪个点是大于零的,哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的,上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数,但是上面的式子太长,求导之后会更长,为了方便计算,尽可能避免出错,我们作如下约定:

令:

A=(x-1);

B=(x-2)^{2};

C=(x-3)^{3};

D=(x-4)^{4}.

之后,我们有:

原式=y=ABCD.

于是我们有:

y'=A'BCD+A(BCD)';

y''=A''BCD+A'(BCD)'+A'(BCD)'+A(BCD)'';

y'''=A'''BCD+A''(BCD)'+A''(BCD)'+A'(BCD)''+A''(BCD)'+A'BCD''+A'(BCD)''+A(BCD)''';

y'=0, 则有:

y'(2)=y'(3)=y'(4)=0;

y'(1)\neq0. (x=1 对应 A, 但是 A' 是一个常数,不受 x 的影响,因此 x=1 不会使 y'=0, 以下计算过程中的判断与此类似.)

y''=0, 则有:

y''(3)=y''(4)=0;

y''(1)\neq0, y''(2)\neq0.

y'''=0, 则有:

y'''(4)=0;

y'''(1)\neq0, y'''(2)\neq0, y'''(3)\neq0.

通过上面的计算我们知道,y''(3)=0y'''(3)\neq0, 因此,根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件,点 (3,0) 是曲线 y 的拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

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[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)

题目

下列命题中正确的是()

( A ) 若 \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x), 则 \exists \varepsilon > 0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时,f(x) \geqslant g(x).

( B ) 若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|< \varepsilon 时,f(x)>g(x), 且 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}, 则 A_{0}>B_{0}.

( C ) 若 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时,f(x)>g(x), 则 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x).

( D ) 若 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x), 则 \exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon 时,f(x)>g(x).

解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题,这类题的难点在于除了紧抠概念之外,解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且,概念考察题考察的都是概念的细微之处,一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出,本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看,本题考查了函数极限的定义中当 x \rightarrow x_{0} 时的极限的定义,如下:

已知 \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A

任给 \varepsilon >0, 存在正数 \delta, 当 0<x-x_{0}<\delta 时,就有 |f(x)-A|<\varepsilon.

注:上面这个定义说的通俗一点就是,当 xx_{0} 足够接近的时候,f(x)f(x) 的极限 A 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”,如下:

\lim f(x)=A>0, 则在极限管辖的范围内,f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2}).

反之,f(x)>0\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0.

注:当 x \rightarrow x_{0} 时,“极限管辖的范围”指的就是 x_{0} 的去心邻域;当 x \rightarrow \infty 时,“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性,我们需要明确以下几点:

  • 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”,这也是解决所有涉及极限的问题的大前提:要研究和利用极限,则极限必须存在;
  • 保号性都是局部保号性,即只有在极限管辖的范围内才存在保号性;
  • 由极限大于 0 可以推出函数大于 0, 不能推出函数等于 0 或者函数小于 0. 由函数大于 0 可以推出极限大于 0 或者极限等于 0, 而且在不确定极限究竟是只大于 0 还是只小于 0 的情况下,要写成极限大于等于 0 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了:

\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)

这说明 f(x)g(x) 的极限都存在(满足了研究极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤)且 f(x) 的极限大于等于 f(x) 的极限。

于是,我们有:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0

接下来选项给出了:

\exists \varepsilon > 0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出,由上面的条件可以推出 f(x) \geqslant g(x).

这个结论是不对的。原因如下:

若函数 f(x) 的极限 A >0, 则可以推出函数 f(x)>0;

若函数 f(x) 的极限 A<0, 则可以推出函数 f(x)<0;

若函数 f(x) 的极限 A=0, 则不能确定函数 f(x) 是大于 0, 小于 0 还是等于 0. 原因是,如果 A=0 我们不知道函数 f(x) 是在大于 0 的方向上趋近于极限 A, 还是在小于 0 的方向上趋近于极限 A, 抑或 f(x)=0.

如图 1 所示,当函数的极限等于 0 时,函数可能是大于 0 的:

图 1. y=1/x 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

如图 2 所示,当函数的极限等于 0 时,函数也可能是小于 0 的:

图 2. y=1/(-x) 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

第三种情况,当函数的极限等于 0 时,函数可能也是等于 0 的,如图 3 所示:

图 3. y=0 的局部图像,使用 www.desmos.com 生成

因此,已知极限 \lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0, 并不能推导出函数 F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0.

综上可知,选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件:

\exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon

因此,本题符合函数极限保号性的使用条件,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出:

f(x)>g(x)

于是,当我们令 F(x)=f(x)-g(x) 时,可以得出如下结论:

F(x)>0

接着,该选项又给出:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}

这说明函数 f(x) 和函数 g(x) 都是存在极限的,符合我们研究函数极限问题的大前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

最后,该选项给出了他的结论:

A_{0}>B_{0}

有了这个结论,结合前面的条件,我们可以把该选项改写成如下形式:

已知函数 F(x) 存在极限,且函数 F(x)>0, 则 \lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0.

这个结论显然是错误的,因为已知函数大于 0 的时候,其极限是可能等于 0 的,例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 f(x)=\frac{1}{x} 始终是大于 0 的,但是其极限却是等于 0 的。

综上可知,选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显,因为选项中没有指明函数 f(x) 和函数 g(x) 的极限存在,缺少了研究极限问题的大前提,那么,接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过,如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 f(x) 和函数 g(x) 的极限是存在的,那么该选项的表述就是正确的,原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知,选项 C 是错误的。

D 选项

该选项首先给出了如下条件:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)

若我们令 F(x)=f(x)-g(x), 则上面的条件可以改写成:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0

接着选项给出了:

\exists \varepsilon>0, 当 0<|x-x_{0}|<\varepsilon

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法,具备使用保号性的前提,条件可用,可以继续接下来的思考步骤。

接着,该选项给出了它的结论:

f(x)>g(x)

根据前面的分析可知,我们可以将此改写成:

F(x)>0

我们知道,当一个函数的极限存在且大于 0 的时候,在函数极限的管辖范围内,可以推导出该函数也大于 0.

综上可知,选项 D 是正确的。

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2009 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

x \rightarrow 0 时,f(x)=x-\sin axg(x)=x^{2}\ln(1-bx) 是等价无穷小,则()

( A ) a=1,b=-\frac{1}{6}.

( B ) a=1,b=\frac{1}{6}.

( C ) a=-1,b=-\frac{1}{6}.

( D ) a=-1,b=\frac{1}{6}.

解析

由于 f(x)g(x) 是等价无穷小,因此,根据“无穷小的比较”中关于等价无穷小的定理:

\lim \alpha(x)=0, \lim \beta(x)=0,

\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1, 则 \alpha(x)\beta(x) 是等价无穷小,记为 \alpha(x)\sim\beta(x).

因此,我们有:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin ax}{x^{2}\ln(1-bx)}=1.

在“常用的等价无穷小”中,同时和 \sin xx 有关的等价无穷小两个,如下:

\sin x \sim x; x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.

同时和 \ln xx 有关的等价无穷小也有两个,如下:

\ln(1+x)\sim x; x-\ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^{2}.

那么,我们现在需要考虑的问题就是:需要组合使用哪两个等价无穷小化简原式?

这里选择并确定使用哪两个等价无穷小的依据就是题目中给出的“等价无穷小”。也就是说,在对原式进行化简运算的过程中,必须保证分子分母互为等价无穷小,每一步都要遵守这个原则,最后化简出来的结果中分子分母也必须互为等价无穷小,只有这样才可以和原式划等号。

由前面的计算我们知道,原式的分子是:

x-\sin ax

原式的分母是:

x^{2}\ln(1-bx)

于是,分子的有效化简形式有以下四种:

x-\sin ax=x-ax (1)

OR

x-\sin ax=\sin x-\sin ax (2)

OR

x-\sin ax=x-[ax-\frac{1}{6}(ax)^{3}]=x-ax+\frac{1}{6}a^{3}x^{3} (3)

OR

x-\sin ax=\frac{1}{6}x^{3}+\sin x-\sin ax (4)

分母的有效化简形式有以下两种:

x^{2}\ln(1-bx)=x^{2}(-bx)=-bx^{3} (5)

OR

x^{2}\ln(1-bx)=x^{2}[(-bx)-\frac{1}{2}(-bx)^{2}]=-bx^{3}-\frac{1}{2}b^{2}x^{4} (6)

由于要保证每一步计算过程中分子分母都是等价无穷小,因此,我们首先要看看那些式子组合起来可以形成等价无穷小。

(1) 到 (6) 六个式子中变量 x 的次方数情况如下:

(1): 只包含 1 次方;

(2): 只包含 1 次方;

(3): 包含 1 次方和 3 次方;

(4): 包含1 次方和 3 次方;

(5): 只包含 3 次方;

(6): 包含 3 次方和 4 次方。

由于分母对应的 (5) 和 (6) 两个式子都包含 3 次方,分子对应的 (1) 式和 (2) 式无论如何变化也不会出现 3 次方,无法与分母构成等价无穷小,因此排除。此外,(4) 式有 \sin x\sin ax, 而分母中并没有对应的形式,因此 (4) 式被基本排除。

现在就剩下分子对应的 (3) 式和分母对应的 (5) 式和 (6) 式了。由于 (6) 式中含有 x 的 4 次方,而 (3) 式无论如何变化也不会出现 4 次方,因此,正确的化简过程应该在 (3) 式和 (5) 式中产生。

基于以上分析,尝试化简如下:

原式=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-ax+\frac{1}{6}a^{3}x^{3}}{-bx^{3}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-a)x+\frac{1}{6}a^{3}x^{3}}{-bx^{3}}

分母中没有 1 次方,因此,为了保证“分子分母互为等价无穷小”这个条件始终成立,唯一的办法就是令 1-a=0, 接下来,根据 f(x)\sim g(x) 所得的分子分母的对应关系,我们可以得到:

\frac{1}{6}a^{3}=-b

两式联立:

\left\{\begin{matrix}1-a=0,\\ \frac{1}{6}a^{3}=-b.\end{matrix}\right.

解得:

\left\{\begin{matrix} a=1,\\ b=-\frac{1}{6}.\end{matrix}\right.

综上可知,本题的正确选项是:A


通过本题,我们可以总结出使用等价无穷小化简原式过程中的以下规律:

  • 注意原式分子分母的无穷小类型(等价,高阶,低阶,同阶,K 阶),计算过程中要以始终保持一致的无穷小类型为所有计算的前提;
  • 使用常见等价无穷小化简的时候一般都是由繁化简,即化简的趋势都是使式子中尽可能只出现 x, 例如将 \sin x 化为 x, 将 \ln(1+x) 化为 x 等。
  • 此外,把式子中的一部分化为和另一部分相同类型的形式更有可能简化运算,例如在本题中,分母是 x^{2}\ln(1-bx), 则把 \ln(1-bx) 化为 -bx 显然会让式子在形式上更统一,更有利于后面的计算;
  • 化简过程要严格按照公式进行,特别要注意负号和变量前面的参数,必要时要先加上括号维持原来的形式,之后一步步计算。

2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

曲线 \sin (xy)+\ln(y-x)=x 在点 (0,1) 处的切线方程为__.

解析

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有:

(\sin x)'=\cos x; (\ln x)'=\frac{1}{x}; (ab)'=a'b+ab'; f'(x)=f'[\phi(x)]\cdot\phi'(x).

求导过程中另外需要注意的两点如下:

  • x 求导,则包括 x 和其他常量都要按照求导公式进行计算,而除了 x 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ‘) 即可,不进行求导计算;
  • 等式两边对同一变量求导后,等式仍然成立。因为求导前是等式,求导规则也一致,则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下:

y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).

解答思路如下:

由于切线方程的计算公式中包含导数 f'(x),因此,首先需要计算出导数。原式两边同时对 x 求导可以产生导数 y'

[\sin(xy)+\ln(y-x)]'=(x)'\Rightarrow\cos(xy)(x'y+xy')+\frac{1}{y-x}(y-x)'=1\Rightarrow \cos(xy)(y+xy')+\frac{1}{y-x}(y'-1)=1

要求的是曲线在点 (0,1) 处的切线方程,因此,我们把 x=0;y=1带入上面的到的式子中,得:

1\cdot1+1\cdot(y'-1)=1\Rightarrow 1+y'-1=1\Rightarrow y'=1.

即:

y'(0)=1.

将上述结果带入切线方程求导公式得:

y-1=1\cdot(x-0)\Rightarrow y=x+1.

综上可知,本题得答案是:y=x+1

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2008 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt, 则 f'(x) 的零点个数()

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

解析

本题可以使用积分和导数的相关定理解出。

涉及到的积分知识如下:

(1) 定积分基本性质

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;

(2) 变上限积分函数求导

  • f(x)[a,b] 上连续,则 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[a,b] 上可导,且 F'(x)=f(x).
  • f(x)[a,b] 上连续,\phi(x)[a,b] 上可导,设F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt, 则:
F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x).

涉及到的求导知识如下:

(x^{a})'=ax^{a-1};

此外,我们需要知道的是,“函数零点”指的是 f(x)=0 时,对应的自变量 x 的数值,“函数零点” 不是一个点,而是一个数值。

解题思路如下:

根据变上限积分函数求导法则,有:

f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).

则要求函数 f'(x) 的零点的个数,就是求 2x\ln(2+x^{2})=0 的解的个数。

要使 2x\ln(2+x^{2})=0 成立,则有以下三种情况(分情况讨论时要注意“不重不漏”):

(1) 2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0

此时解出 x=0.

(2) 2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0

无解。

由于 1+x^{2}\geq2 始终成立,而且当 x=1 时,\ln(x)=0, 当 x>1 时,\ln(x)>0.

所以,\ln(2+x^{2})>0 始终成立,与 x 轴没有交点。

(3) 2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0

2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解.

综上可知,当 2x\ln(2+x^{2})=0 时,有:

x=0.

因此,只有一个零点,答案是:B

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