荒原之梦

一、题目

设 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是

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继续阅读“变上限积分一定可导吗？”

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。

继续阅读“证明：导函数连续则原函数一定可导”

一、题目

$f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：

$$
g(x, y) = f(2 x+y, 3 x-y)
$$

$$
\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} – 6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} = 1
$$

(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;

(2)若 $\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}=u \mathrm{e}^{-u}, f(0, v)=\frac{1}{50} v^{2}-1$, 求 $f(u, v)$.

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继续阅读“2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算”

一、题目

设 $t>0$, 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $x=t$, $x=2 t$ 及 $x$ 轴围成, $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$, 求 $V(t)$ 的最大值.

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继续阅读“2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值”

一、题目

设 $y=y(x)$ 满足方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-9 y=0$, 且 $\left.y\right|_{x=1}=2$, $\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$.

(1) 利用 $x=\mathrm{e}^{t}$ 化简方程, 并求 $y(x)$ 的表达式;

(2) 求 $\int_{1}^{2} y(x) \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x$.

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继续阅读“2024年考研数二第18题解析：微分方程的代换化简，一重积分的计算”

题目一

已知 $z=\left(x + e^{y}\right)^{x}$, 则：

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=?
$$

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继续阅读“复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去”

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y=\frac{1}{3}$, $x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x$, $y=3 x$ 围成, 计算 $\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $=$ $?$

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继续阅读“2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性”