一、题目
$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = ?
$$
其中 $a<x<b$.
难度评级：
继续阅读“这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的”解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知
一、题目
已知 $f(x), \varphi(x)$ 均为连续函数, $a \neq 0$ 且为常数, $\int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x$ $=$ $A$, 则 $I$ $=$ $\int_{0}^{a} x[f[\varphi(x)]+f[\varphi(a-x)]] \mathrm{~ d} x=?$
难度评级：
继续阅读“解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知”定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限
一、题目
已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，且 $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$, 则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=?$
难度评级：
继续阅读“定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限”错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简
一、题目
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 经正交变换化为标准形 $3 y_{1}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简”根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？
一、题目
已知，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 的秩为 $2$, 则 $t=?$
难度评级：
继续阅读“根据二次型的秩求解二次型矩阵中的未知数：矩阵中有一个不为零的子式你能找到吗？”这个带有平方项的二次型却没办法按照拉格朗日配方法配成完全平方，该怎么办？
一、题目
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$
难度评级：
继续阅读“这个带有平方项的二次型却没办法按照拉格朗日配方法配成完全平方，该怎么办？”对没有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：有时候直接反解方程组比求解逆矩阵更简单
一、题目
使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并求出对应的线性变换矩阵 $C$.
难度评级：
继续阅读“对没有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：有时候直接反解方程组比求解逆矩阵更简单”对带有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 0 的方式“凑”上去
一、题目
使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并写出对应的线性变换矩阵。
难度评级：
继续阅读“对带有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：配方后得到的式子中没有的项也要通过乘以系数 0 的方式“凑”上去”将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法
一、前言 
在考研数学中，将二次型化为标准型或者规范型有两种常用的方法，即正交变换法和拉格朗日配方法。那么，拉格朗日配方法相对于正交变换法有哪些优点呢？拉格朗日配方法的具体计算步骤是怎样的呢？在计算过程中需要注意什么问题呢？
针对但不限于上面这些问题，在本文中，荒原之梦考研数学（zhaokaifeng.com）将逐一回答。
继续阅读“将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法”小提示：如果对拉格朗日配方法不够熟悉的话，阅读本文就需要多一点耐心，最好准备好纸和笔，跟着文中的步骤亲自计算一遍，把本文从头学到尾，你会很有收获感！
特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是（）
难度评级：
继续阅读“特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成”你知道怎么在已知特征向量得前提下求解矩阵中得未知数吗
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}7 & 4 & -1 \\ 4 & 7 & -1 \\ -4 & -4 & x\end{array}\right]$ 的特征向量，则 $x=?$
难度评级：
继续阅读“你知道怎么在已知特征向量得前提下求解矩阵中得未知数吗”你知道怎么在已知矩阵特征值的情况下求解伴随矩阵得特征值吗
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值（$\lambda \neq 0$）, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}+\boldsymbol{E}$ 必有特征值（）
难度评级：
继续阅读“你知道怎么在已知矩阵特征值的情况下求解伴随矩阵得特征值吗”已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了
一、题目
已知 $-2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & x & -2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right]$ 的特征值，则 $x=?$
难度评级：
继续阅读“已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了”这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？
一、题目
已知 $a>0$, 则 $I=\int_{-a}^{a}$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x$ $=?$
难度评级：
继续阅读“这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？”带有三角函数的积分不容易计算怎么办？尝试把三角函数放到微分符号 d 里面，这样就可以用整体代换法去掉三角函数了
一、题目
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x) \cos x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“带有三角函数的积分不容易计算怎么办？尝试把三角函数放到微分符号 d 里面，这样就可以用整体代换法去掉三角函数了”