荒原之梦

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<1 \\ a, & x \geqslant 1\end{array}\right.$, $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}b, & x<0 \\ x+2, & x \geqslant 0\end{array}\right.$, 且 $f(x)+g(x)$ 为连续函数, 则 $a$ 和 $b$ 的值分别是多少？

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继续阅读“荒原之梦原创解题方法：田字格分段函数融合法”

一、题目

以下极限相关的式子中，哪些或者哪个的极限是存在的？

(1) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(5 x^{5}-3 x^{3}+2\right)$.

(2) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$.

(3) 数列极限 $I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{a^{n}}{1+a^{n}}}$, 其中常数 $a>0$.

(4) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$.

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继续阅读“只有因“极限变量”导致的极限取值不同才叫极限不存在：因式子中其他变量取值不同导致的极限不同只能表现为“分段式极限存在””

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为有界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

(B) 设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷小，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=a \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=\infty$.

(C) 设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷大，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=a$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

(D) 设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为无界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

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继续阅读“有界函数乘以零得零：但反过来并不成立”

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，则必存在 $\delta>0$, 当 $x \in \mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时，$f(x)$ 必存在.

(B) 若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则必存在 $\delta>0$, 当 $x \in \mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时, $f(x)$ 亦连续.

(C) 若 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 必不存在.

(D) 若 $f\left(x_{0}\right)$ 不存在，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 必不存在.

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继续阅读“神奇的迪利克雷函数和一个违反直觉的高等数学结论”

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$, $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B$, 则下列命题不正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=A+B$.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]=A-B$.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]=A B$.

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$.

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继续阅读“无论是极限是还是等式值，只要是【零】就不能做分母”

一、题目

$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}(x+1)}=?
$$

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继续阅读“当被积函数分母的次幂过高时要先降幂再尝试积分”

一、题目

$f(x)=\frac{1}{1+\sin ^{2} x}$, $x \in[0, \pi]$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的全体原函数是（）

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继续阅读“三角函数积分思路：sin 与 cos 都可以统一到 tan”

一、题目

已知，当 $x>-2$ 时 $f(x)$ 连续，且满足 $2 f(x)\left[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=\frac{(x+1) \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}}$, 则当 $x>-2$ 时, $f(x)=?$

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继续阅读“遇到变限积分就想着怎么求导吗？一般是这样的，但也可以试试积分哦”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=?$

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继续阅读“根号下的 x 有一个重要性质，一定要记住！”

一、题目

已知 $|y|<1$, 则 $K(y)$ $=$ $\int_{-1}^{1} | x-y | +\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x = ?$

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继续阅读“当被积函数含有绝对值时一般先考虑用分段的方法去绝对值——此外，在凑微分时一般把 $e^{x}$ 凑到 $d$ 中，因为凑微分的核心就是【使积分变得更简单】”

一、题目

已知，当 $0 \leqslant x \leqslant \pi$ 时 $f(x)=x$, 且对一切 $x$ 都有 $f(x)=f(x-\pi)+\sin x$, 则 $I = \int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x=?$

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继续阅读“当函数 f 的括号中标明的自变量不是单独的一个字母时一般都可以用变量代换，且这样的函数通常都具有某种周期性”

一、题目

$$
I = \int_{3}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}} = ?
$$

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继续阅读“这道题看似不能用三角函数代换，但其实题目中已经给我们提示了：把未知变已知，把不同变相同”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{~d} x = ?
$$

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继续阅读“当分母的次幂大于分子的次幂时一定要通过拆分的方式给分母降幂：只有这样才能继续积分”

一、题目

$$
I=\int_{-1}^{1} x \arcsin x \mathrm{~d} x = ?
$$

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继续阅读“带有三角函数的积分一般可以尝试配方法，但一般不要将三角函数放到微分符号 d 中”