一、题目
函数 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{2} \arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}$ 在 $[1,+\infty)$ 区间内的增减性如何?
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继续阅读“高等数学易错点:复合函数求导公式很简单,但在实际运算过程中极易被忽略”函数 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{2} \arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}$ 在 $[1,+\infty)$ 区间内的增减性如何?
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继续阅读“高等数学易错点:复合函数求导公式很简单,但在实际运算过程中极易被忽略”已知 $y(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导,满足 $y(a)=y(b)=0$ 且 $y^{\prime \prime}(x)+c y(x)=0$ $(x \in(a$, $b) )$, 其中 $c$ 为小于零的常数,则 $y(x)$ 在 $(a, b)$ 内恒等于零吗?
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继续阅读“当一个函数既没有极大值也没有极小值还有等于零的值时就一定恒等于零”已知,常数 $A, B$ 可使不等式 $\frac{B}{\sqrt{x}} \leqslant \ln x \leqslant A \sqrt{x}$, $x \in(0,+\infty)$ 恒成立,则 $A$ 的最小值和 $B$ 的最大值分别是多少?
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继续阅读“应用 “化整为零”解题思想的一个例题”已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 又 $f^{\prime}(x)+f^{2}(x)$ $-$ $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ $=$ $0$ 且 $\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=0$, 则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(a, b)$ 内是恒为负?还是恒为正?变号?还是恒为零?
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继续阅读“这道题算是算不出来的,只能“分类讨论”这样子”已知 $f(x)$, $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $g(x)>0$, $\left|\begin{array}{ll}
f(x) & g(x) \\
f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x)
\end{array}\right|<0$, 且 $a<b$, $f(a)=0$.
请证明 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间 $(a, b]$ 恒正。
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继续阅读“这道线性代数和高等数学“合二为一”的题目你会做吗?”我们知道,下面这两个不等式很常用也很重要(已知 $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$):
$$
a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab
$$
$$
a + b \geqslant 2 \sqrt{ab}
$$
那么,你知道这两个不等式背后隐藏的几何规律吗?你是怎么记住这两个不等式的?其实,只要搞明白这背后的几何原理,想记不住它们都难哦!
继续阅读“明白了这两张图你就记住了这两个重要的常用不等式”Tips:
本文中的理解方法由荒原之梦(zhaokaifeng.com)原创。
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}} = ?
$$
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继续阅读“如果做对这道题你就真的理解了函数在一点处极限的定义了”假设曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与直线 $y=A$ 有 3 个不同的交点,则以下结论成立的是哪个?
(A) $A<3$.
(B) $A>-3$.
(C) $-2<A<2$.
(D) $A \neq 0$.
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继续阅读“与三次函数有三个交点?还是选择题?画图秒解!”已知曲线 $y=\ln x$ 与曲线 $y=k \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有公切线,则常数 $k$ 与切点分别为多少?
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继续阅读“这道题斜率和切点坐标都不知道!怎么计算?”下列函数中在 $x=0$ 处可导的是哪个或哪些?
(1) $f(x)=\cos x^{\frac{2}{3}}$;
(2) $f(x)=\sin x^{\frac{2}{3}}$;
(3) $f(x)=(1-\cos x)^{\frac{2}{3}}$;
(4) $f(x)=\left(\sin x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}$.
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继续阅读“确定一点处是否可导?直接用一点处导数的定义试试看吧!”下面哪个函数在 $x=0$ 处可导:
(A) $f(x)=\mathrm{e}^{|x|}$.
(B) $f(x)=\arctan |x|$.
(C) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$.
(D) $f(x)=\arcsin \sqrt{|x|}$.
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继续阅读“荒原之梦原创解题方法之函数本体偏离点必为尖点:直观的判断一个点是否是尖点(不可导点)”已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续,又 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{|x|}=1$, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在吗?
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继续阅读““绝对值”和“讨论正负”是好兄弟姐妹”已知,函数 $f(x)$ 有二阶连续导数,且 $f(a)=0$. 若令 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}f^{\prime}(a), & x=a \\ \frac{f(x)}{x-a}, & x \neq a\end{array}\right.$, 则函数 $g(x)$ 在 $x = a$ 存在一阶导数吗?如果存在,那么 $g^{\prime}(a) = ?$
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继续阅读“有零阶导、一阶导还有二阶导?那么,这道题很可能可以用泰勒公式哦!”已知 $f(x)$ 导数连续且 $f^{\prime}(1)=1$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)$ 是 $x$ 的几阶无穷小?
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继续阅读“为什么在加减运算中有无穷大时可以“取大头”,有无穷小时不能“去小头”呢?”加减运算中的无穷小为什么不能直接舍去?做了这道题你就明白了!
已知 $f(x)$ $=$ $\left|(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}\right|$, 则 $f^{\prime}(x)$ 不存在的点个数是多少?
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继续阅读“整体加绝对值的函数哪些点是不可导点:绝对值符号内的函数值等于零但一阶导不等于零的点”